空域和频域

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title: "图像傅里叶变换：从空域转换到频域（包含频谱图分析、简单带阻滤波器理解）_傅里叶变换从空间域到频域-CSDN博客"
description: "文章浏览阅读2.6w次，点赞58次，收藏190次。本文详细介绍了数字图像处理中的傅里叶变换原理，包括空域到频域的转换、图像恢复和噪声去除。通过实例展示了如何使用Python的numpy和cv2库实现傅里叶变换，并讲解了带通/带阻滤波器在去除周期性噪声中的应用。文章提供了相关资源链接和代码示例，帮助读者深入理解图像处理中的频域分析。"
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🔹 1. 空域 (Spatial Domain)
• 定义：在“空间坐标”下对信号或图像的描述。
• 图像就是二维信号，可以用像素坐标 (x, y) 来表示。
• 空域处理就是直接对像素值进行操作。

例子：
• 图像平滑（模糊）：对邻域像素做平均。
• 锐化：对像素值做差分（边缘增强）。
• 卷积操作：卷积核在图像上滑动，直接作用在像素值上。

公式举例：
g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)
这里 f(x,y) 是原图，h(x,y) 是滤波核，结果 g(x,y) 就是空域处理后的图像。

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🔹 2. 频域 (Frequency Domain)
• 定义：通过傅里叶变换把图像从空间坐标 (x, y) 转换到频率坐标 (u, v) 的表示。
• 图像被看作不同频率成分的叠加。
• 频域处理就是对这些频率分量进行操作，再逆变换回去。

例子：
• 低通滤波：保留低频（平滑部分），去掉高频（细节、噪声）。
• 高通滤波：保留高频（边缘、纹理），去掉低频（背景）。
• 带通滤波：只保留某个频段的频率信息。

公式：
F(u,v) = \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-j2\pi \left(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}\right)}
f(x,y) = \frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^{j2\pi \left(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}\right)}
这里 F(u,v) 就是图像的频域表示。